<body><script type="text/javascript"> function setAttributeOnload(object, attribute, val) { if(window.addEventListener) { window.addEventListener('load', function(){ object[attribute] = val; }, false); } else { window.attachEvent('onload', function(){ object[attribute] = val; }); } } </script> <div id="navbar-iframe-container"></div> <script type="text/javascript" src="https://apis.google.com/js/plusone.js"></script> <script type="text/javascript"> gapi.load("gapi.iframes:gapi.iframes.style.bubble", function() { if (gapi.iframes && gapi.iframes.getContext) { gapi.iframes.getContext().openChild({ url: 'https://www.blogger.com/navbar.g?targetBlogID\x3d13537987\x26blogName\x3d.::4o+MATI::.\x26publishMode\x3dPUBLISH_MODE_BLOGSPOT\x26navbarType\x3dBLACK\x26layoutType\x3dCLASSIC\x26searchRoot\x3dhttp://4mati.blogspot.com/search\x26blogLocale\x3den_US\x26v\x3d2\x26homepageUrl\x3dhttp://4mati.blogspot.com/\x26vt\x3d-2679139537497759110', where: document.getElementById("navbar-iframe-container"), id: "navbar-iframe" }); } }); </script>
4ï ÌÁÔÉ

«Σώζειν τα φαινόμενα» και «Αρχιμήδειο πρόβλημα»


Μιχάλης Λάμπρου
Καθηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης


Υπάρχουν πολλές φράσεις του καθημερινού βίου, γραπτού ή προφορικού, οι οποίες έμειναν παροιμιώδης. Πολλές προέρχονται από την αρχαία γραμματεία, όπως π.χ. οι παν μέτρον άριστον, τα πάντα ρεί, εν οίδα ότι ουδέν οίδα, κυλώνειον άγος, ήξεις αφίξεις, αχίλλειος πτέρνα, άχθος αρούρης, νόστιμον ήμαρ, μολών λαβέ, ο κύβος ερρίφθη, ήλθον, είδον και απήλθον, και πολλές άλλες ων ουκ έστιν αριθμός. Πάμπολλες πάλι προέρχονται από τις Γραφές (τα του Καίσαρος τω Καίσαρι, ιδού ο άνθρωπος, γενεαί δεκατέσσαρες, κύμβαλον αλλαλάζον, ο έχων ώτα ακούειν ακουέτω, τριάκοντα αργύρια, τεσσαράκοντα παρά μία, ήγγικεν η ώρα, μάννα εξ ουρανού, κ.ά) ενώ πολλές πλάστηκαν από τους κοινούς ανθρώπους και τους λογίους, όπως π.χ. οι κεραυνός εν αιθρία, άνθρακες ο θησαυρός, σιγά τον πολυέλαιο, ανθ’ ημών Γουλιμής, κατά φαντασίαν ασθενής, ιδίοις όμμασιν, τις πταίει; σιδηρούν παραπέτασμα, κ.ά. Από πού όμως προέρχονται οι φράσεις αυτές και ποιά είναι οι ιστορία τους; Το θέμα είναι βέβαια ανεξάντλητο. Σε αυτά που ακολουθούν θα ασχοληθούμε με την προέλευση, ιστορία και ερμηνεία δύο όχι και τόσο κοινών παροιμιωδών φράσεων οι οποίες πηγάζουν από ιστορία της επιστήμης, τις «σώζειν τα φαινόμενα» και «Αρχιμήδειο πρόβλημα».

Η φράση «σώζειν τα φαινόμενα» και οι παραλλαγές της αποδίδονται, σύμφωνα με την παράδοση στον μεγάλο φιλόσοφο Πλάτωνα, ο οποίος υποδείκνυε να ερμηνεύονται οι τροχιές των πλανητών με βάση το αξίωμα ότι η μόνη επιτρεπτή κίνηση στον ουρανό είναι η ομαλή κυκλική. Η αρχαιότερη σχετική πηγή μας είναι αρκετά μεταγενέστερη και είχε μεγάλη διαδρομή μέχρι να φτάσει εκεί. Βρίσκεται σε ένα υπόμνημα του Σιμπλικίου (6ος αι. μ.Χ.) στο «Περί Ουρανού» του Αριστοτέλη. Ο Σιμπλίκιος, όπως αναφέρει ο ίδιος, πήρε τούτη την πληροφορία από τον Αλέξανδρο Αφροδισιέα, ο οποίος με την σειρά του την άντλησε από τον δάσκαλό του, τον αστρονόμο Σωσιγένη, και εκείνος από την χαμένη σήμερα «Ιστορία της Αστρονομίας» του Ευδήμου, μαθητή του Αριστοτέλη.
Σύμφωνα με τον Σιμπλίκιο, λοιπόν, ο Πλάτων διατύπωσε την αρχή ότι η κίνηση των ουρανίων σωμάτων είναι κυκλική, ομαλή και τεταγμένη (δηλαδή πάντα προς την ίδια κατεύθυνση). Γι’ αυτό έθετε στους μαθηματικούς το εξής πρόβλημα: «τίνων υποτεθέντων δι’ ομαλών και εγκυκλιών και τεταγμένων κινήσεων δυνήσεται διασωθήναι τα περί τους πλανωμένους φαινόμενα? » ( με ποιες ομαλές, κυκλικές και τεταγμένες κινήσεις μπορούν να διασωθούν τα φαινόμενα των κινήσεων των πλανητών?)
Υπάρχουν πολλά ανάλογα χωρία στον ίδιο συγγραφέα. Παραδείγματος χάριν σε κάποιο άλλο σημείο του κειμένου μας πληροφορεί ότι με τις παραπάνω κινήσεις «οι τε παλαιοί αστρονόμοι και οι μεταγενέστεροι σώζουσι τα φαινόμενα». Παρόμοια χωρία, άλλωστε, υπάρχουν στο «Περί των κατά το μαθηματικόν χρησίμων εις την Πλάτωνος ανάγνωσιν» του Θέωνα του Σμυρναίου (2ος αι. μ.Χ.) και στην «Επιτομή της Ποσειδωνίου Μετεωρολογικών εξηγήσεως» του Γεμίνου (1ος αι. π.Χ.).
Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την αρχή. Τον 6ο και 5ο αιώνα π.Χ. στην αρχαία Ελλάδα οι αστρονόμοι διαπίστωσαν ότι τα αστρονομικά φαινόμενα διέπονται από φυσικές και όχι υπερφυσικές ή μυθολογικές αιτίες, όπως πίστευαν οι αστρονόμοι άλλων προηγμένων τότε πολιτισμών. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα να ξεκινήσει η λεγόμενη σήμερα επιστημονική αστρονομία. Συγκεκριμένα, διατυπώθηκαν γενικές αρχές οι οποίες συστηματοποιούσαν τα εμπειρικά δεδομένα των παρατηρήσεων του ουρανού και επικράτησε η αντίληψη ότι τα φαινόμενα επιδέχονται λογική επεξεργασία και ερμηνεία. Για παράδειγμα, ο Αναξίμανδρος και ο Φιλόλαος συγκαταλέγονται μεταξύ εκείνων που είχαν διατυπώσει τέτοιου είδους προοδευτικές και καινοτόμες για την εποχή τους αστρονομικές θεωρίες. Δεν είναι εδώ ο τόπος να αναφερθούμε σε λεπτομέρειες των θεωριών αυτών. Θα αρκεστούμε να αναφέρουμε ότι και αυτές οι θεωρίες, όσο πρωτοπόρες και αν ήσαν, είχαν μειονεκτήματα. Το κυριότερο ήταν ότι έμεναν στην παρατηρησιακή αστρονομία και δεν περιέγραφαν με ακρίβεια τις κινήσεις των πλανητών. Με άλλα λόγια, τους έλλειπε η μαθηματική επίνοια που θα καθιστούσε τους νόμους που διέπουν τις τροχιές των ουρανίων σωμάτων προσιτούς σε υπολογισμούς και επεξεργασία. Ειδικότερα, υπήρχε η ανάγκη να ερμηνευτεί η δυσαρμονία που παρουσίαζε στο αρχαίο κοσμοείδωλο η φαινομενική τροχιά των πλανητών, εμφανέστερη στον Ερμή και την Αφροδίτη, η οποία δεν ακολουθεί πάντα την από δυσμάς προς ανατολάς πορεία αλλά παρουσιάζει στάσεις και αναδρομήσεις. Για να συνοψίσουμε, οι αρχαίοι επιστήμονες χρειάστηκαν να επιλύσουν το εξής πρόβλημα: με ποιο τρόπο θα περιγραφούν οι κινήσεις των πλανητών ώστε να μπορεί κανείς να προβλέπει την θέση τους στο μέλλον (π.χ. να προβλέπει τις εκλείψεις κ.λπ.) αλλά, συγχρόνως, να τηρούνται οι κανόνες περί αρμονίας του κόσμου (όπως π.χ. διατυπώθηκαν από τους αρχαίους Πυθαγορείους).
Τον 4ο αιώνα π.Χ., η επανάσταση επισφραγίζεται με τον Πλάτωνα, στο 7ο βιβλίο της «Πολιτείας» του. Εκεί, πρώτ’ απ’ όλα, κατατάσσει την αστρονομία στις μαθηματικές επιστήμες, μαζί δηλαδή με την αριθμητική, την γεωμετρία και την αρμονική. Όμως η κύρια συμβολή ήταν βαθύτερη: συνίστατο στο ότι διατύπωσε το είδος των εξηγήσεων (συνδυασμός από ομαλές, κυκλικές και τεταγμένες κινήσεις) στις οποίες πρέπει να βασίζονται οι περιγραφές των ουρανίων φαινομένων. Συγχρόνως παρότρυνε τους αστρονόμους να μελετήσουν τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων με μαθηματικούς όρους.
Η επιρροή του υπήρξε καταλυτική. Για τους μετέπειτα αστρονόμους, ιδίως της ελληνιστικής εποχής, η επιταγή του Πλάτωνα συμπλήρωνε (και κατ’ ορισμένους μελετητές ερχόταν σε σύγκρουση με) την αριστοτελική άποψη περί επιστήμης. Η τελευταία έθετε ως στόχο την αναζήτηση των αιτίων, δηλαδή των πρώτων αρχών, ως μόνη εξήγηση των επιμέρους ουρανίων φαινομένων. Αντιθέτως, η μαθηματική θεώρηση δεν ενδιαφερόταν αποκλειστικά για τα πρωταρχικά αίτια αλλά αναζητούσε και τις κανονικότητες στο ανεπεξέργαστο υλικό. Εξ άλλου οι μετέπειτα σχολιαστές του Αριστοτέλη, οι λεγόμενοι «δοξογράφοι», αποκάλεσαν «πλατωνικούς» τους σπουδαιότερους κατοπινούς αστρονόμους για να τονίσουν, προφανώς, ότι οι αστρονόμοι αυτοί είχαν ευθυγραμμιστεί με την κατάταξη της αστρονομίας στα μαθηματικά.
Σε αυτή την καμπή της ιστορίας της αστρονομίας αναφέρεται το χωρίο του Σιμπλικίου που παραθέσαμε. Ακολουθώντας, λοιπόν, τον Πλάτωνα οι αστρονόμοι έθεταν εκείνες τις υποθέσεις ως αρχικές, οι οποίες θα είχαν συμπεράσματα συμβατά με τα παρατηρημένα φαινόμενα. Όπως γράφει ο Πρόκλος στη Υποτύπωσή του, οι αστρονόμοι «ουκ από των υποθέσεων τα εξής συμπεραίνουσιν, ώσπερ αι άλλαι επιστήμαι, αλλ’ από των συμπερασμάτων τας υποθέσεις εξ ων ταύτα δεικνύναι έδει πλάτειν εγχειρούσι». Άλλωστε από υποθέσεις οφείλει να ξεκινά ο αστρονόμος. Παραδείγματος χάριν, ο πλατωνικός φιλόσοφος Δερκυλλίδης (1ος αι. μ.Χ.) στο χαμένο σήμερα έργο του «Περί της ατράκτου και των σφονδύλων εν τη πολιτεία παρά Πλάτωνι λεγομένων» του οποίου σώζει περίληψη ο Θέων ο Σμυρναίος αναφέρει (σε ελεύθερη απόδοση) ότι «όπως στη γεωμετρία και τη μουσική είναι αδύνατον να συνάγει κανείς τα επακόλουθα από τις αρχές εκτός αν διατυπώσει υποθέσεις, έτσι και στην αστρονομία πρέπει πρώτα κανείς να θέσει τις υποθέσεις από τις οποίες έπεται η θεωρία των πλανητών».
Ο στόχος της διατύπωσης υποθέσεων στην αστρονομία στόχευε στο να «διασωθούν» τα φαινόμενα με την εξής έννοια: Τα ουράνια σώματα παρουσίαζαν φαινόμενη αταξία στη τροχιά τους, η οποία ερχόταν σε σύγκρουση με την προσδοκώμενη ομαλότητα. Επομένως έπρεπε να βρεθεί μια ερμηνεία η οποία θα επιβεβαίωνε την βαθιά ριζωμένη από την εποχή των Πυθαγορείων πεποίθηση περί «κοσμιότητας» του σύμπαντος. Και ο Πλάτωνας επέλεξε ως μόνη επιτρεπτή και αρμονική κίνηση των ουρανίων σωμάτων την ομαλή κυκλική.
Για την επίλυση του προβλήματος του Πλάτωνα προτάθηκαν απίστευτης ευφυΐας θεωρίες οι οποίες έσωζαν, στον ένα ή τον άλλο βαθμό, τα φαινόμενα. Λόγου χάριν, ο Εύδοξος και ο Κάλλιππος διατύπωσαν θεωρίες «ομόκεντρων σφαιρών» (οι οποίες όμως αδυνατούσαν να ερμηνεύσουν την διακύμανση της φωτεινότητας των πλανητών). Υπήρχε θεωρία του Ηρακλείδη. Ο Αρίσταρχος (3. αι. π.Χ.) πρότεινε το περίφημο ηλιοκεντρικό σύστημα. Ο Απολλώνιος και ο Ίππαρχος ανέπτυξαν τις θεωρίες των «εκκέντρων και επικύκλων», κ.ά. Από τότε, πάντως, περέμεινε παροιμιώδης η φράση «σώζειν τα φαινόμενα».
Όλες αυτές οι προσπάθειες είχαν το αποτέλεσμα ήταν να γεννηθεί η μαθηματική αστρονομία που έφερε μεγάλες αλλαγές στην ιστορία της επιστήμης, και όπου οι ελληνική συμβολή θα μείνει ανεξίτηλη. Για παράδειγμα, με την συμβολή του Πτολεμαίου στη περίφημη Μεγίστη Σύνταξή του, η θεωρία των εκκέντρων και επικύκλων υιοθετήθηκε από όλους τους αστρονόμους μέχρι την διατύπωση του νόμου των ελλειπτικών τροχιών από τον Kepler (1571 – 1630). Άλλωστε, μέχρι την εποχή της επιστημονικής επανάστασης τον 17ο αιώνα, οι επιστήμονες θεωρούσαν, σε συμφωνία με τους αρχαίους, ότι οι φυσικοί νόμοι που διέπουν τον φθαρτό υποσελήνιο κόσμο, δηλαδή την επιφάνεια της Γης που κατοικούμε, ήσαν διαφορετικοί από τους επουράνιους. Τα πράγματα άλλαξαν μόνο όταν ο Γαλιλαίος και ο Νεύτων διετύπωσαν τους ενιαίους μαθηματικούς νόμους που διέπουν την κίνηση των σωμάτων παντού στο σύμπαν, είτε «κάτω» είτε «πάνω» από την Σελήνη.

Ας έρθουμε στη δεύτερη φράση που θα μας απασχολήσει, την «Αρχιμήδειο πρόβλημα».

Ο Αρχιμήδης (287-212 π.Χ.) ήταν αναμφισβήτητα ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και ένας από τους σημαντικότερους όλων των εποχών. Η συμβολή του στα μαθηματικά είναι ποικίλη. Πρωτίστως, επινόησε μεθόδους αντίστοιχες του ολοκληρωτικού λογισμού των Λάιμπνιτς και Νεύτωνα, βελτιώνοντας τις μεθόδους του Ευδόξου, τις οποίες εφάρμοσε για τον προσδιορισμό εμβαδών και όγκων διαφόρων σχημάτων. Δεύτερον ασχολήθηκε με τη θεωρητική και εφαρμοσμένη μηχανική, αλλά με την αστρονομία στις οποίες είχε αξιόλογη συμβολή. Τέλος, άφησε διάφορα άλλα σημαντικά μαθηματικά κείμενα, συμπεριλαμβανομένης της περίφημης «Εφόδου». Στην τελευταία περιέχεται η ανάπτυξη μιας «ευρετικής μεθόδου» την οποία ο ίδιος, πολύ σωστά, χαρακτηρίζει ως «όχι μικρή υπηρεσία προς τα μαθηματικά». Συγκεκριμένα δίνει μια σειρά οδηγιών για το πώς να ανακαλύπτει κανείς θεωρήματα των μαθηματικών με χρήση της μηχανικής και έτσι, έχοντας την πρόγνωση ενός αποτελέσματος, να μπορεί ευκολότερα να επινοήσει αυστηρή γεωμετρική απόδειξη.
Δεν είναι εδώ ο τόπος να επεκταθούμε στο ευρύ, βαθύ, πρωτοποριακό και αξιόλογο έργο του Αρχιμήδη. Θα μας απασχολήσει μόνο η ερμηνεία της φράσης «Αρχιμήδειο πρόβλημα».
Είναι γνωστό, και θα δούμε παραδείγματα, ότι ο Αρχιμήδης συνήθιζε να στέλνει επιστολές από τις Συρακούσες όπου ζούσε προς στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας. Μερικές από αυτές τις επιστολές περιείχαν τις εκφωνήσεις νέων, δικών του, θεωρημάτων, αλλά δεν συνοδευόντουσαν και από τις αποδείξεις τους. Η αιτία ήταν γιατί ήθελε να δώσει την ευκαιρία στους μαθηματικούς να τις διερευνήσουν πριν τους στείλει, αργότερα, το νέο του κάθε φορά βιβλίο του με τις αποδείξεις. Παραδείγματος χάριν στο πρόλογο του «Περί Ελίκων» του γράφει προς τον φίλο του μαθηματικό Δοσίθεο αναφερόμενος σε παλαιότερη επιστολή προς τον Κόνωνα, ο οποίος δεν ζούσε πια, τα εξής (σε ελεύθερη απόδοση):
«Τα θεωρήματα που έστειλα προς τον Κόνωνα, για τα οποία πάντοτε με παρότρυνες να γράψω τις αποδείξεις […] σου τις στέλνω αφού τις έγραψα σ’ αυτό το βιβλίο. Μην απορήσεις όμως εάν μου πήρε πολύ χρόνο να δημοσιεύσω τις αποδείξεις τους γιατί συνέβη το εξής, ήθελα πρώτα να τις δώσω σε εκείνους τους ενασχολούμενους με τα μαθηματικά οι οποίοι επιθυμούσαν να τις διερευνήσουν (δια το βούλεσθαί με πρότερον διδόμεν τοις περί τα μαθήματα πραγματευομένοις και μαστεύειν αυτά προ-αιρουμένοις).»
Ανάλογη είναι και η αρχή του προλόγου στο βιβλίο Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου β? όπου ο Αρχιμήδης γράφει προς τον ίδιο Δοσίθεο ότι «προηγουμένως μεν με παρακάλεσες να σου στείλω τις αποδείξεις των προβλημάτων των οποίων τις εκφωνήσεις εγώ ο ίδιος έστειλα στον Κόνωνα…».
Τα προβλήματα που έστελνε ο Αρχιμήδης στις επιστολές του ήταν πολύ δύσκολα. Απλή εξέταση όσων εξ αυτών έφτασαν μέχρι τις μέρες μας, και είναι αρκετά, μας πείθει για του λόγου το αληθές. Άλλωστε συχνά αναφέρει ο ίδιος στα κείμενά του ότι τα προβλήματα που είχε στείλει κάποια προηγούμενη φορά κανείς δε φαίνεται να τα έλυσε. Λόγου χάριν στο «Περί Ελίκων», λίγο πριν γράψει τις λύσεις, αναφέρει «[...] αφού πέρασαν πολλά χρόνια και δεν πληροφορήθηκα ότι επιλήφθηκε κανείς των προβλημάτων, επιθυμώ να σου εξηγήσω το καθένα [...]»
Για τη λύση των προβλημάτων του Αρχιμήδη δεν αρκούσε ο αρχαίος μαθηματικός που θα δοκίμαζε τις δυνάμεις του απλά να βρει ένα έξυπνο τέχνασμα που θα τα αντιμετώπιζε. Απαιτείτο να βρει έναν ολόκληρο μηχανισμό, μια νέα μεθοδολογία, μια πρωτοπόρα και άγνωστη εκείνη την εποχή τεχνική. Παραδείγματος χάριν, η εύρεση εμβαδού επιφανείας σφαίρας με την οποία ο Αρχιμήδης προκάλεσε τους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας, απαιτεί να επινοήσει κανείς τις τεχνικές του άγνωστου τότε ολοκληρωτικού λογισμού (για να χρησιμοποιήσω έναν όρο που δεν υπήρχε καν εκείνη την εποχή, αλλά έπρεπε να περιμένει 2000 χρόνια). Και δεν έφταναν μόνο αυτά. Ας δούμε δύο παραδείγματα.
α) Σε ένα κείμενό του ο Αρχιμήδης θέτει το πρόβλημα να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν της σφαιρικής ζώνης μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων που τέμνουν μία σφαίρα είναι ανάλογο του τετραγώνου του πλάτους της ζώνης. Εκ πρώτης όψεως το θεώρημα δείχνει σωστό, μια και θυμίζει παρόμοια συμπεριφορά που έχουν τα εμβαδά των επιπέδων σχημάτων. Να όμως που τα πράγματα δεν είναι έτσι στα τρισδιάστατα σχήματα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση σωστό θεώρημα δεν συμβαδίζει με την διαίσθηση και λεει ότι το εν λόγω εμβαδόν είναι ανάλογο του πλάτους και όχι του τετραγώνου του πλάτους! Ο Αρχιμήδης το γνώριζε αυτό αλλά, όπως γράφει ο ίδιος, για μερικά θεωρήματα δεν διατυπώνει την σωστή απάντηση γιατί ορισμένοι έχουν την κακή συνήθεια να σφετερίζονται τα θεωρήματά του, λέγοντας ότι τα απέδειξαν οι ίδιοι στο παρελθόν. Γράφει χαρακτηριστικά ότι «[...] διότι συμβαίνει δύο από τα θεωρήματά μου να τα έχω προσθέσει εδώ εσφαλμένα, ώστε αυτοί που ισχυρίζονται ότι τα έχουν βρει όλα, χωρίς όμως να παρουσιάζουν και κάποια απόδειξη, να ελέγχονται ότι ευρίσκουν τα αδύνατα». Και αποκαλύπτει την πονηριά του μόνον αργότερα, όταν στέλνει τις λύσεις στα προβλήματά του.
β) Άλλου τύπου δυσκολία ενσωμάτωσε σε ένα πρόβλημα, το λεγόμενο βοεικό, το οποίο απέστειλε στη μορφή ποιήματος σε ελεγειακό μέτρο στον φίλο του Ερατοσθένη για τους Αλεξανδρινούς μαθηματικούς.
Το πρόβλημα ζητά να βρεθεί το πλήθος βοδιών και αγελάδων ενός κοπαδιού, από κάποια απλά αριθμητικά δεδομένα. Ένας έμπειρος μαθηματικός δεν έχει καμία δυσκολία να καταστρώσει γρήγορα τις εξισώσεις από τα επιτάγματα του προβλήματος. Όμως ο Αρχιμήδης αναφέρει στους τελευταίους στίχους του ποιήματος ότι «αν καταφέρεις, ξένε, να εκφράσεις όλα τα μεγέθη των πληθών, πήγαινε υπερηφανευόμενος ότι αναδείχθηκες νικητής γνωρίζοντας ότι κρίθηκες τέλειος σε αυτού του είδους την σοφία (δηλαδή στην ικανότητα με τους αριθμούς)».
Ο τελευταίος αυτός στίχος φαίνεται προκλητικός. Είναι σαν να λεει ο Αρχιμήδης ότι δεν θα τα καταφέρει ο λύτης. Πού όμως έγκειται η δυσκολία; Αυτό που δεν αντιλαμβάνεται ο ανυποψίαστος επίδοξος λύτης είναι ότι ο Αρχιμήδης επέλεξε με τέτοια μαεστρία τα δεδομένα του προβλήματος ώστε η απάντηση, χωρίς να προδίδεται κάτι τέτοιο από τα δεδομένα, είναι τόσο μεγάλος αριθμός, που είναι αδύνατον να το γράψει κάτω κανείς. Πράγματι, μόνο το 1965 και με χρήση ισχυρότατων ηλεκτρονικών υπολογιστών έγινε εφικτή η καταγραφή των πληθών. Πρόκειται για οκτώ αριθμούς με 200.000 ψηφία ο καθένας. Για σύγκριση, το παρόν άρθρο έχει περίπου 15.000 γράμματα οπότε, για να καταγράψει κανείς τους οκτώ αριθμούς του Αρχιμήδη, πρέπει να γράψει περισσότερα ψηφία από όσα γράμματα έχουν 100 άρθρα σαν το παρόν, χώρια οι πράξεις για να φτάσει κανείς μέχρι εκεί. Κάτι, φυσικά, πέρα από τις ανθρώπινες δυνάμεις.
Δίκαια, λοιπόν, ο Κικέρων σε δύο επιστολές του προς τον Αττικό χρησιμοποιεί την έκφραση «πρόβλημα Αρχιμήδειον» για να περιγράψει πολύ δύσκολες καταστάσεις. Οι επιστολές είναι στα λατινικά αλλά η φράση «πρόβλημα Αρχιμήδειον» αναγράφεται στα ελληνικά. Μεταφράζουμε: «το εγκώμιο προς τον Κάτωνα το οποίο αναμένεται από σε, είναι παρ’ όλα αυτά ένα πραγματικά Αρχιμήδειο πρόβλημα» και «Το Αρχιμήδειο πρόβλημα το οποίο σου ανέθεσα προς λύση, και που προηγουμένως με ανησυχούσε, παρήλθε πλέον». Από τότε, η φράση που μας απασχολεί, έμεινε παροιμιώδης και χρησιμοποιείται με τον τρόπο που την χρησιμοποίησε ο Κικέρων.